Сначала говорите, что они "продают билеты на несуществующие рейсы", а на деле выясняется, что рейс вполне себе существующий, только его отменили. И сделал это никак не airtickets, а авиакомпания.

В ответ на: А сейчас мне airtickets.ru заявляет, что мы не были на рейсе.

Какая разница - были Вы на рейсе или не были, если рейс отменен.
В чем проблема взять подтверждение в а/к, что рейс был отменен?