В ответ на: или реально найти с предоплатой только первого месяца?

Реально. Но, как правило, это касается случаев, когда хозяева сами квартиру сдают, без агентства. Ибо агентства, по сути, навяливают хозяевам этот залог.

В ответ на: в случае оплаты сразу двух месяцев, как не пролететь (на что обращать внимание)?

На договор найма, на что же еще. Попросите документы, подтверждающие право собственности на квартиру. А то отдадите деньги, а человек может и не хозяин вовсе.
Паспортные данные проверьте.