За "купить" надо в Стамбул ехать. В Аланье кроме кальяна, пожалуй, ничего выгодно не купить. Смотреть в окрестностях Аланьи тоже особенно нечего (если не считать самой Аланьи и турецкой жизни вообще). Когда надоест изучать окресные пляжи, можно полазить по вот этой красной башне и крепости рядом с ней.
Можно взять лодку и поплавать вокруг скалы, чтобы поразглядывать пещеры.

Можно взять напрокат машину и покататься вдоль побережья.

Когда и это надоест, надо ехать на экскурсию в Демре. Куда то дальше уезжать будет некомфортно - много времени уйдет на дорогу. Ещё на Манавгат народ ездит.
В общем, приятного путешествия!