В ответ на: за какие долги могут не выпустить из страны: коммунальные услуги, налоги?

за ЛЮБЫЕ, по которым есть решение СУДА о взыскании

В ответ на: Могут ли не выпустить без решения суда про долг?

НЕТ

В ответ на: ТОлько судебные приставы этим занимаются?

"выбиванием" долгов - только они
способов множество, в т.ч. и ограничение на выезд за рубеж

В ответ на: суд принимает решение об ограничении выезда

суд принимает решение о взыскании долга - это большая разница
собственно взысканием суд не занимается - для исполнения решений суда и создана служба приставов