В ответ на: какую карту лучше открыть? В каком банке?

платжных систем Visa или MasterCard. Visa не ниже Classic, MC не ниже Standard.
Банк, по большому счету, значения не имеет. Посмотрите у кого какие тарифы на обслуживание и доп. услуги, которые могут вам понадобится (онлайн банкинг, смс-информирование и прочее) и выберите себе подходящий. Сразу разъясните, что картой будете расчитываться в т.ч. за рубежом. А то некоторые банки, не будем показывать пальцем, разрешали использование карт за пределами России только по дополнительному заявлению.

В ответ на: Как удобнее все-таки расчитываться, наличкой или картой.

Подать продавцу деньги или карту разницы особой нет. С картой можно стать жертвой мошенников. Изучайте инет на эту тему. Забейте в поисковике "мошенничества с банковскими (или "пластиковыми") картами. Деньги можно потерять или их украдут. Украденная/потреянная карта не всегда может попасть к грамотному человеку, который знает, как с нее получить деньги. Да и заблокировать ее можно относительно оперативно.

Для себя решил так: 50 на 50. Половина наличкой, половина на карте. Тратятся синхронно. Картой расчитываюсь в серьезных организациях, которым доверяю (ну или можно обналичить через банкомат, но это не так выгодно уже. так же выбирать лучше банкоматы стоящие в помещении и лучше непосредственно в банке. (см. про мошенничество), наличкой - в остальных местах.
Если телефон берете с собой, подключите на время поездки смс-информирование. Очень удобно. Пока продавец оформляет чек, у вас уже приходит смс с указанием снятой суммы и получателем. Тут же проверяете.

Сам пользуюсь уже 7 лет дебетовой Визой Классик от Банка Москвы. Использовал в 10-15 странах в трех частях света, и для платежей через интернет. Ни разу не было накладок ни с оплатой, ни с обналичиванием. Тьфу-тьфу-тьфу )